Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{4}$ zu dividieren.

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.2

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.5.3.2.5

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.7

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.7.2

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.7.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Schritt 2.1.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Schritt 2.1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Schritt 2.1.11.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x \ln (\frac{x}{4})$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{4}$ zu dividieren.

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.11

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.13

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.2.15

Mutltipliziere $\ln (\frac{x}{4})$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Schritt 2.2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $10$ und $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ durch $10$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ durch $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\ln (\frac{x}{4})$ durch $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 3.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ um.

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.2.1

Vereinfache $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ in $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ an.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 4.1.2.6

Kombinieren.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Schritt 4.1.2.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Schritt 4.1.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 4.1.2.8

Bringe $e^{\frac{3}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 4.1.2.9

Zerlege $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ durch Herausziehen von $- \frac{3}{2}$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 4.1.2.10

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.1.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.1.2.12.2

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.1.2.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.1.2.12.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Schritt 4.1.2.13

Kombiniere $\frac{40}{e^{3}}$ und $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Schritt 4.1.2.14

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $40$ mit $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Schritt 4.1.2.14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Schritt 4.1.2.15

Die endgültige Lösung ist $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ in $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.79252064$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Dividiere $0.79252064$ durch $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache $10 \ln (0.19813016)$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.19813016$ mit $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Schritt 6.3

Bei $0.79252064$ , die zweite Ableitung ist $- 1.18831089$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.99252064$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Dividiere $0.99252064$ durch $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache $10 \ln (0.24813016)$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.24813016$ mit $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Schritt 7.3

Bei $0.99252064$ ist die zweite Ableitung $1.06198168$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Schritt 9