Analysis Beispiele

$\frac{x}{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{x + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ als ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 2.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8