Analysis Beispiele

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{1 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $1 - x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.7

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.8

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.2.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.2.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.7.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.1

Schreibe ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ als $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ um.

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.2

Multipliziere $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.9.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.9.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.9.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.9.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.10

Multipliziere $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.1.11.3

Addiere $- 4 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.2

Subtrahiere $4 x^{5}$ von $2 x^{5}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3.3

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ heraus.

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.5.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.1.2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.5.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 1$ .

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.7

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.5.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5.4

Wende die Produktregel auf $(1 + x) (1 - x)$ an.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und ${(1 + x)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.5.6.1

Faktorisiere $1 + x$ aus $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $1 + x$ aus ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ heraus.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und ${(1 - x)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.5.7.1

Faktorisiere $1 - x$ aus $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $1 - x$ aus ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ heraus.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Schritt 2.1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Schritt 2.1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.3.3

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 2.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{1 - x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $16$ und $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $125$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $19$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

Schritt 5.2.4.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{152}{3375}$ .

$\frac{152}{3375}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $0.5$ von $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $1$ und $0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $0.25$ und $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $0.125$ mit $3.375$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

Schritt 6.2.4.3

Dividiere $- 3.25$ durch $0.421875$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 7.\overline{703}$ .

$- 7.\overline{703}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, 0)$ konkav, weil $f'' (- 0.5)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 1, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere ${0.5}^{2} + 3$ mit $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Addiere $1$ und $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

Schritt 7.2.3.3

Subtrahiere $0.5$ von $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

Schritt 7.2.3.5

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Schritt 7.2.4.2

Addiere $0.25$ und $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $3.375$ mit $0.125$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

Schritt 7.2.5.2

Dividiere $3.25$ durch $0.421875$ .

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $7.\overline{703}$ .

$7.\overline{703}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 1)$ konvex, weil $f'' (0.5)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.5

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $16$ und $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $125$ mit $- 27$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $19$ .

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

Schritt 8.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{152}{3375}$ .

$- \frac{152}{3375}$

Schritt 8.3

Der Graph ist im Intervall $(1, \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 9

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 1, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 10