Analysis Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 27}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{x^{2} + 27}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 27$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.8.2

Schreibe $27$ als $- 1 (- 27)$ um.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 27)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.8.4

Schreibe $- (x^{2} - 27)$ als $- 1 (x^{2} - 27)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}] + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.4

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 27)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 (x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.4

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.5.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) (2 \cdot (x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.2.5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + 0$

Schritt 2.1.2.5.7.2

Addiere $- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 27)}^{2}$ als $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ um.

$- \frac{2 ((x^{2} + 27) (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} + 27) + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.3.1.2

Bringe $27$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 \cdot x^{2} + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $27$ mit $27$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 x^{2} + 27 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.3.2

Addiere $27 x^{2}$ und $27 x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 54 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (54 x^{2}) + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.5.1

Mutltipliziere $54$ mit $2$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $729$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 1458) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x^{4} x + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.6.3.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{1 + 4} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x \cdot x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.6.3.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x^{1} x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{1 + 2} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.6.3.1.9.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.6.3.1.9.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x^{1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2 + 1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.10

Multipliziere $(- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} (x^{3} + 27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{2} x + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.3.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x \cdot x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x^{1} x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{1 + 2} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.1.5

Mutltipliziere $27$ mit $108$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.2

Addiere $- 108 x^{3}$ und $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 0 + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.1.11.3

Addiere $- 4 x^{5}$ und $0$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.2

Subtrahiere $4 x^{5}$ von $2 x^{5}$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3.3

Addiere $1458 x$ und $2916 x$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.6.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.6.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{5}$ heraus.

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $108 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $4374 x$ heraus.

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2})$ heraus.

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)$ heraus.

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.6.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 2187 = - 2187$ und deren Summe gleich $b = 54$ ist.

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Schritt 2.1.2.6.4.4.1.1

Faktorisiere $54$ aus $54 u$ heraus.

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 (u) + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.4.1.2

Schreibe $54$ um als $- 27$ plus $81$

$- \frac{2 x (- u^{2} + (- 27 + 81) u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x (- u^{2} - 27 u + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.6.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{2 x ((- u^{2} - 27 u) + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{2 x (u (- u - 27) - 81 (- u - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 27$ .

$- \frac{2 x ((- u - 27) (u - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.6

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 9^{2}))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4.7

Faktorisiere.

$- \frac{2 x (- x^{2} - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{2} - 27$ und ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.6.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.5.2

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 1 (27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (27)$ heraus.

$- \frac{2 x (- (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.5.4

Schreibe $- (x^{2} + 27)$ als $- 1 (x^{2} + 27)$ um.

$- \frac{2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.5.5

Faktorisiere $x^{2} + 27$ aus $2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.6.5.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 27$ aus ${(x^{2} + 27)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(2 x (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.8

Multipliziere $- - \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

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Schritt 2.1.2.6.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.8.2

Mutltipliziere $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x + 9) (x - 9) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.3.3

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 2.2.3.4

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.4.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 2.2.3.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.2.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x + 9) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 9, 9$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} + 27}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 27 = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 27$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 27}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Schritt 3.2.3.4

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.2.3.4.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Schritt 3.2.3.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Schritt 3.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 9)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{2 (- 12) ((- 12) + 9) ((- 12) - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $144$ und $27$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{171^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $171$ mit $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{5000211}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 12$ und $9$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 \cdot (- 3 (- 12 - 9))}{5000211}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 3$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 (- 12 - 9)}{5000211}$

Schritt 5.2.3.3

Subtrahiere $9$ von $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 \cdot - 21}{5000211}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $72$ mit $- 21$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 1512}{5000211}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1512$ und $5000211$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $27$ aus $- 1512$ heraus.

$f'' (- 12) = \frac{27 (- 56)}{5000211}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.2.1

Faktorisiere $27$ aus $5000211$ heraus.

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Schritt 5.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Schritt 5.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 12) = \frac{- 56}{185193}$

Schritt 5.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 12) = - \frac{56}{185193}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{56}{185193}$ .

$- \frac{56}{185193}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 9)$ konkav, weil $f'' (- 12)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 9)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 9, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ((- 4) + 9) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $16$ und $27$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{43^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $43$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{79507}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1

Addiere $- 4$ und $9$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot (5 (- 4 - 9))}{79507}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 (- 4 - 9)}{79507}$

Schritt 6.2.3.3

Subtrahiere $9$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 \cdot - 13}{79507}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 13$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{79507}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{520}{79507}$ .

$\frac{520}{79507}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 9, 0)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 9, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 9)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 (4) ((4) + 9) ((4) - 9)}{{({(4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(4^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $16$ und $27$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{43^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $43$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{79507}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Addiere $4$ und $9$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot (13 (4 - 9))}{79507}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $13$ .

$f'' (4) = \frac{104 (4 - 9)}{79507}$

Schritt 7.2.3.3

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$f'' (4) = \frac{104 \cdot - 5}{79507}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $104$ mit $- 5$ .

$f'' (4) = \frac{- 520}{79507}$

Schritt 7.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = - \frac{520}{79507}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{520}{79507}$ .

$- \frac{520}{79507}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 9)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 9)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f'' (12) = \frac{2 (12) ((12) + 9) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(12^{2} + 27)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $144$ und $27$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{171^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $171$ mit $3$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{5000211}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.1

Addiere $12$ und $9$ .

$f'' (12) = \frac{24 \cdot (21 (12 - 9))}{5000211}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $24$ mit $21$ .

$f'' (12) = \frac{504 (12 - 9)}{5000211}$

Schritt 8.2.3.3

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$f'' (12) = \frac{504 \cdot 3}{5000211}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $504$ mit $3$ .

$f'' (12) = \frac{1512}{5000211}$

Schritt 8.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1512$ und $5000211$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.2.1

Faktorisiere $27$ aus $1512$ heraus.

$f'' (12) = \frac{27 (56)}{5000211}$

Schritt 8.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.2.2.1

Faktorisiere $27$ aus $5000211$ heraus.

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Schritt 8.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Schritt 8.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (12) = \frac{56}{185193}$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{56}{185193}$ .

$\frac{56}{185193}$

Schritt 8.3

Der Graph ist im Intervall $(9, \infty)$ konvex, weil $f'' (12)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(9, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 9)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 9, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 9)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(9, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 10