Analysis Beispiele

$\sin^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.3.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.1.3.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 2.1.1.3.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.1.1.3.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.7.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.8

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 2.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.9

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6