Analysis Beispiele

$\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{4} - 256$ .

$\frac{(x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 256) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} - 256$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 256$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Da $- 256$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 256$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.4.3.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.3.1.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 256$ .

$\frac{4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Schritt 2.1.1.4.3.2.1

Subtrahiere $4 x^{7}$ von $4 x^{7}$ .

$\frac{- 1024 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.3.2.2

Addiere $- 1024 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{- 1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 1024$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$ .

$- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{4} - 256)}^{2}$ .

$- 1024 \frac{3 \cdot {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} - 256$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 256$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.4

Da $- 256$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 256$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.5.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.7

Addiere $3$ und $3$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.8

Kombiniere $- 1024$ und $\frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$ .

$\frac{- 1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.1

Schreibe ${(x^{4} - 256)}^{2}$ als $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ um.

$- \frac{1024 (3 ((x^{4} - 256) (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.2

Multipliziere $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} (x^{4} - 256) - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1024 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.3.1.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.3.1.2

Bringe $- 256$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 \cdot x^{4} - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 256$ mit $- 256$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 x^{4} - 256 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.3.2

Subtrahiere $256 x^{4}$ von $- 256 x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 512 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 ((3 x^{8} + 3 (- 512 x^{4}) + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 512$ mit $3$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $65536$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 196608) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 x^{8} x^{2} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.7.1

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.7.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{2} x^{8}) - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1024 (3 x^{2 + 8} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.7.1.3

Addiere $2$ und $8$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.7.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.10.3.1.7.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 (x^{2} x^{4}) + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{2 + 4} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.7.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{6} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 (3 x^{10}) + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.10.3.1.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 1536$ mit $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.9.3

Mutltipliziere $196608$ mit $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.10

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.10.3.1.10.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{4 + 6}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.10.3

Addiere $4$ und $6$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{10}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.12

Mutltipliziere $- 256$ mit $- 8$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (2048 x^{6})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.1.13

Mutltipliziere $2048$ mit $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.2

Subtrahiere $8192 x^{10}$ von $3072 x^{10}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3.3

Addiere $- 1572864 x^{6}$ und $2097152 x^{6}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.10.4.1

Faktorisiere $1024 x^{2}$ aus $- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.10.4.1.1

Faktorisiere $1024 x^{2}$ aus $- 5120 x^{10}$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.1.2

Faktorisiere $1024 x^{2}$ aus $524288 x^{6}$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.1.3

Faktorisiere $1024 x^{2}$ aus $201326592 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.1.4

Faktorisiere $1024 x^{2}$ aus $1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4})$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.1.5

Faktorisiere $1024 x^{2}$ aus $1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.3

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.10.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot 196608 = - 983040$ und deren Summe gleich $b = 512$ ist.

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Schritt 2.1.2.10.4.4.1.1

Faktorisiere $512$ aus $512 u$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 (u) + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.4.1.2

Schreibe $512$ um als $- 768$ plus $1280$

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 768 + 1280) u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} - 768 u + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.10.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u^{2} - 768 u) + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{1024 x^{2} (u (- 5 u - 768) - 256 (- 5 u - 768))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 u - 768$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u - 768) (u - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.7

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.4.9

Faktorisiere.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.10.5.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 256)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 16^{2})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 16))}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.10.5.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2}))}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.5

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ an.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.6

Multipliziere $(x^{2} + 16) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.10.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.10.5.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.10.5.7.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.2.10.5.7.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.7.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.7.3

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.10.5.8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{3} + 4 x^{2}) + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.9

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x + 4) (x^{2} + 16))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.5.10

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x^{2} + 16)$ an.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 16$ und ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.10.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus $1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.10.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.10.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.10.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 4$ und ${(x + 4)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.10.7.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)$ heraus.

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.10.7.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.10.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 4$ und ${(x - 4)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.10.8.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)$ heraus.

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.10.8.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 2.1.2.10.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 2.1.2.10.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.10

Schreibe $- 768$ als $- 1 (768)$ um.

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 (768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{4}) - 1 (768)$ heraus.

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.12

Schreibe $- (5 x^{4} + 768)$ als $- 1 (5 x^{4} + 768)$ um.

$- \frac{1024 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.15

Mutltipliziere $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.16

Stelle die Faktoren in $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ um.

$f'' (x) = \frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{4} + 768 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.2.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.3.3

Setze $5 x^{4} + 768$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $5 x^{4} + 768$ gleich $0$ .

$5 x^{4} + 768 = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Löse $5 x^{4} + 768 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Subtrahiere $768$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} = - 768$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} = - 768$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} = - 768$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{5}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{4} = - \frac{768}{5}$

Schritt 2.2.3.3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Schritt 2.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Schritt 2.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Schritt 2.2.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} - 256 = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $256$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 256$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{256}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $256$ als $4^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 {(- 6)}^{4} + 768)}{{((- 6) + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 \cdot 1296 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1296$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (6480 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $6480$ und $768$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} \cdot 7248}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $7248$ mit $1024$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 {(- 6)}^{2}}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 6$ und $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {(36 + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $36$ und $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 6 - 4)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.6

Potenziere $52$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (140608 {(- 10)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.7

Potenziere $- 10$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot 140608 \cdot - 1000}$

Schritt 5.2.2.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.2.8.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $140608$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 1124864 \cdot - 1000}$

Schritt 5.2.2.8.2

Mutltipliziere $- 1124864$ mit $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $7421952$ mit $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $267190272$ und $1124864000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $267190272$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $1124864000$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{65232}{274625}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 4)$ konvex, weil $f'' (- 6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 {(- 2)}^{4} + 768)}{{((- 2) + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 \cdot 16 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (80 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $80$ und $768$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} \cdot 848}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $848$ mit $1024$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 {(- 2)}^{2}}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {(4 + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $4$ und $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 2 - 4)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $20$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (8000 {(- 6)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.7

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot 8000 \cdot - 216}$

Schritt 6.2.2.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.2.8.1

Mutltipliziere $8$ mit $8000$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{64000 \cdot - 216}$

Schritt 6.2.2.8.2

Mutltipliziere $64000$ mit $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{- 13824000}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $868352$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3473408$ und $- 13824000$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $3473408$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $- 13824000$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{848}{- 3375}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2) = - \frac{848}{3375}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 4, 0)$ konkav, weil $f'' (- 2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{1024 {(2)}^{2} (5 {(2)}^{4} + 768)}{{((2) + 4)}^{3} {({(2)}^{2} + 16)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Schreibe $1024$ als $2^{10}$ um.

$f'' (2) = \frac{2^{10} \cdot (2^{2} (5 \cdot 2^{4} + 768))}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (2) = \frac{2^{10 + 2} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $10$ und $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(4 + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $4$ und $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(2 - 4)}^{3})}$

Schritt 7.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Schritt 7.2.2.6

Potenziere $20$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (8000 {(- 2)}^{3})}$

Schritt 7.2.2.7

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot 8000 \cdot - 8}$

Schritt 7.2.2.8

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.8.1

Mutltipliziere $216$ mit $8000$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{1728000 \cdot - 8}$

Schritt 7.2.2.8.2

Mutltipliziere $1728000$ mit $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{- 13824000}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 16 + 768)}{- 13824000}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (80 + 768)}{- 13824000}$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $80$ und $768$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} \cdot 848}{- 13824000}$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $2$ mit $12$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{- 13824000}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $4096$ mit $848$ .

$f'' (2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Schritt 7.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3473408$ und $- 13824000$ .

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $3473408$ heraus.

$f'' (2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.2.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $- 13824000$ heraus.

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Schritt 7.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Schritt 7.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{848}{- 3375}$

Schritt 7.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{848}{3375}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 4)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{1024 {(6)}^{2} (5 {(6)}^{4} + 768)}{{((6) + 4)}^{3} {({(6)}^{2} + 16)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (5 \cdot 1296 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1296$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (6480 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.3

Addiere $6480$ und $768$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot 6^{2} \cdot 7248}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $7248$ mit $1024$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 6^{2}}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $6$ und $4$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(36 + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $36$ und $16$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot (52^{3} {(6 - 4)}^{3})}$

Schritt 8.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Schritt 8.2.2.5

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Schritt 8.2.2.6

Potenziere $52$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 2^{3}}$

Schritt 8.2.2.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 8}$

Schritt 8.2.2.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.2.8.1

Mutltipliziere $1000$ mit $140608$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{140608000 \cdot 8}$

Schritt 8.2.2.8.2

Mutltipliziere $140608000$ mit $8$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $7421952$ mit $36$ .

$f'' (6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Schritt 8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $267190272$ und $1124864000$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $267190272$ heraus.

$f'' (6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $1124864000$ heraus.

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Schritt 8.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{65232}{274625}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Schritt 8.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(0, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 10