Analysis Beispiele

$x e^{- 3 x}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{- 3 x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x$ .

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $e^{- 3 x}$ mit $1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ um.

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x e^{- 3 x}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.2

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 3 x$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.8

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2.9

Mutltipliziere $e^{- 3 x}$ mit $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.1.2.3.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.3.5

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Subtrahiere $3 e^{- 3 x}$ von $- 3 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.2.4.4

Stelle die Faktoren in $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ um.

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $9 x e^{- 3 x}$ heraus.

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $- 6 e^{- 3 x}$ heraus.

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ heraus.

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $e^{- 3 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $e^{- 3 x}$ gleich $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.2.4.2

Löse $e^{- 3 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- 3 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.2.5

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Schritt 5.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

Schritt 5.2.1.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.4

Kombiniere $27$ und $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

Schritt 6.2.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

Schritt 6.2.1.7

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

Schritt 6.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $27$ .

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{21}{e^{9}}$ .

$\frac{21}{e^{9}}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ konvex, weil $f'' (3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8