Analysis Beispiele

$\arctan (x)$

Schritt 1

Schreibe $\arctan (x)$ als Funktion.

$f (x) = \arctan (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 2.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.1.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 2.1.2.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8