Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - x$ und $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.12

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3

Addiere $- x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.4

Subtrahiere $8 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.5

Multipliziere $- - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.6

Multipliziere $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.7.2

Addiere $- 3 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Addiere $5 x^{2} - 11 x + 4$ und $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.4

Addiere $- 11 x$ und $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 8 x + 4$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.4.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.1.1.3.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2

Wende die Produktregel auf $(x - 1) (x + 4)$ an.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ als ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 4$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 4}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Addiere $- 6$ und $4$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Dividiere $8$ durch $- 8$ .

$f'' (- 6) = 1$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (- 6) = 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 4)$ konvex, weil $f'' (- 6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 4, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Addiere $0$ und $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 4, 1)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 4, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $4$ und $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $512$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $512$ heraus.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Schritt 6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{64}$ .

$- \frac{1}{64}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(1, \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 4, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8