Analysis Beispiele

$f (x) = 4 + 4 x^{2} - x^{4}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + 4 x^{2} - x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Addiere $0$ und $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Schritt 1.1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{2} + 8$ .

$- 12 x^{2} + 8$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{2} + 8 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} = - 8$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x^{2} = - 8$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x^{2} = - 8$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 12}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 12$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 4 (2)}{- 12}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 1.2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 12 {(- 3)}^{2} + 8$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 8$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 108$ und $8$ .

$f'' (- 3) = - 100$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 100$ .

$- 100$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ konkav, weil $f'' (- 3)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 8$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 8$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 8$

Schritt 5.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$f'' (0) = 8$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = - 12 {(3)}^{2} + 8$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$f'' (3) = - 108 + 8$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 108$ und $8$ .

$f'' (3) = - 100$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 100$ .

$- 100$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ konkav, weil $f'' (3)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8