Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

Schritt 1.1.1.5.2

Addiere $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1$

Schritt 1.1.2.4.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2} - 48 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$12 (3 x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 48 x$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x)$ heraus.

$12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ heraus.

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$12 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$12 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$12 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$12 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 12$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 12$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $12$ .

$f'' (0) = 12$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{1}{3}, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.67$ .

$f'' (0.67) = 36 {(0.67)}^{2} - 48 \cdot 0.67 + 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.67$ mit $2$ .

$f'' (0.67) = 36 \cdot 0.4489 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.4489$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $0.67$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 32.16 + 12$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $32.16$ von $16.1604$ .

$f'' (0.67) = - 15.9996 + 12$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 15.9996$ und $12$ .

$f'' (0.67) = - 3.9996$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.9996$ .

$- 3.9996$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{1}{3}, 1)$ konkav, weil $f'' (0.67)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(\frac{1}{3}, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 48 \cdot 4 + 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 48 \cdot 4 + 12$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $16$ .

$f'' (4) = 576 - 48 \cdot 4 + 12$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $4$ .

$f'' (4) = 576 - 192 + 12$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $192$ von $576$ .

$f'' (4) = 384 + 12$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $384$ und $12$ .

$f'' (4) = 396$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $396$ .

$396$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(1, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(\frac{1}{3}, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8