Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{3}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} - (x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.1.2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} - 3 (x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.7.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 3 (x - 4) x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} x - 3 (x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.7.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (x - 4) x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 4))}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.2.7.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 4))$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x - 3 (x - 4))}{x^{6}}$

Schritt 1.1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x - 3 (x - 4))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x - 3 (x - 4))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x - 3 (x - 4)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 4}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 x + 12}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x + 12}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.1.1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x) + 12}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (6)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (6)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x + 6)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- (x) + 6)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.5

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$f' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 6)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- (x - 6))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.7

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$f' (x) = \frac{2 (- 1 (x - 6))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 6)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 (x - 6)}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x - 6}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} - (x - 6) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} - 4 (x - 6) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.7.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} - 4 (x - 6) x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.2.3.7.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} x - 4 (x - 6) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.7.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 (x - 6) x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} x + x^{3} (- 4 (x - 6))}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.3.7.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} (- 4 (x - 6))$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} (x - 4 (x - 6))}{x^{8}}$

Schritt 1.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} (x - 4 (x - 6))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} (x - 4 (x - 6))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 4 (x - 6)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x - 4 (x - 6)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x - 4 (x - 6))}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(2) (x - 4 (x - 6))}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (x - 4 x - 4 \cdot - 6)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 x + 2 (- 4 x) + 2 (- 4 \cdot - 6)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x - 8 x + 2 (- 4 \cdot - 6)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.3.1.2

Multipliziere $2 (- 4 \cdot - 6)$ .

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Schritt 1.1.2.7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x - 8 x + 2 \cdot 24}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x - 8 x + 48}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x + 48}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.4

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x + 48$ heraus.

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Schritt 1.1.2.7.4.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{6 (- x) + 48}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.4.2

Faktorisiere $6$ aus $48$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{6 (- x) + 6 (8)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.4.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x) + 6 (8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{6 (- x + 8)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x) + 8)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.6

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x - 8))}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.8

Schreibe $- (x - 8)$ als $- 1 (x - 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{6 (- 1 (x - 8))}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2.7.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{6 (x - 8)}{x^{5}})$

Schritt 1.1.2.7.11

Mutltipliziere $\frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$ .

$\frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 (x - 8)}{x^{5}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 (x - 8)}{x^{5}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 (x - 8) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x - 8) = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x - 8) = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (x - 8)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x - 8)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 8$ durch $1$ .

$x - 8 = \frac{0}{6}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x - 4}{x^{3}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 4}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 ((- 2) - 8)}{{(- 2)}^{5}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $8$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 \cdot - 10}{{(- 2)}^{5}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 \cdot - 10}{- 32}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 10$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 60}{- 32}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $- 32$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 60$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 15}{- 32}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 32$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 15}{- 4 \cdot 8}$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 15}{- 4 \cdot 8}$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{15}{8}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 8)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 ((4) - 8)}{{(4)}^{5}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot - 4}{4^{5}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $5$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot - 4}{1024}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$f'' (4) = \frac{- 24}{1024}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $1024$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 24$ heraus.

$f'' (4) = \frac{8 (- 3)}{1024}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $1024$ heraus.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 128}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 128}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = \frac{- 3}{128}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = - \frac{3}{128}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{128}$ .

$- \frac{3}{128}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 8)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 8)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f'' (10) = \frac{6 ((10) - 8)}{{(10)}^{5}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $8$ von $10$ .

$f'' (10) = \frac{6 \cdot 2}{10^{5}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $10$ mit $5$ .

$f'' (10) = \frac{6 \cdot 2}{100000}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f'' (10) = \frac{12}{100000}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $100000$ .

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f'' (10) = \frac{4 (3)}{100000}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $100000$ heraus.

$f'' (10) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 25000}$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (10) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 25000}$

Schritt 6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (10) = \frac{3}{25000}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{25000}$ .

$\frac{3}{25000}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(8, \infty)$ konvex, weil $f'' (10)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(8, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 8)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(8, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8