Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x - - 1$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.2.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ als ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 1}{x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 3)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 27}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = \frac{4}{27}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{1^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - \frac{4}{1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 4$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (0) = - 4$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7