Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 9}{x - 9}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 9$ und $g (x) = x - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 9$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 9 - x - 1 \cdot 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 - x - 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 9 - 1 \cdot 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f' (x) = \frac{- 9 - 1 \cdot 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (x) = \frac{- 9 - 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Subtrahiere $9$ von $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{18}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.2.1.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{18}{{(x - 9)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ als ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{- 2}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 9$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 9$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 9))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 9))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 9$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 9))$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 18$ .

$f'' (x) = 36 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 9))$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{1}{{(x - 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.4.2

Kombiniere $36$ und $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{36}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{36}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{36}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{36}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$36 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $36 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x + 9}{x - 9}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 9}{x - 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 9 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 9}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 9}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 9)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{((0) - 9)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(- 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{- 729}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $- 729$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{- 729}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 729$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot - 81}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot - 81}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{4}{- 81}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{4}{81}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{81}$ .

$- \frac{4}{81}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 9)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 9)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f'' (12) = \frac{36}{{((12) - 9)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$f'' (12) = \frac{36}{3^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (12) = \frac{36}{27}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $27$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$f'' (12) = \frac{9 (4)}{27}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f'' (12) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (12) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (12) = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(9, \infty)$ konvex, weil $f'' (12)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(9, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 9)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(9, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7