Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{2}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 1.1.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 1.1.1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x - 20 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 1.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 1.1.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 1.1.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $40 \sin (2 x) = - 20$ durch $40$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $40 \sin (2 x) = - 20$ durch $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $40$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $20$ aus $- 20$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $20$ aus $40$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 1.2.6.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 1.2.8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 1.2.8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.2.8.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 1.2.8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 1.2.8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 1.2.8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.9.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.10

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + π$

Schritt 1.2.10.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.10.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.10.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.10.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 1.2.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Schritt 1.2.10.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 1.2.10.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{12}$

Schritt 1.2.11

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $40$ mit $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $20$ und $0$ .

$f'' (0) = 20$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $20$ .

$20$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5