Analysis Beispiele

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.6.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.1.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Schritt 2.1.1.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Schritt 2.1.1.10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 2.1.1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 2.1.1.10.4

Kombiniere $\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.9.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.9.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.13.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.19

Um ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.20

Kombiniere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.22

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.22.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.22.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.22.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.22.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.22.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.23

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.24

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.25

Schreibe $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.1.2.26

Mutltipliziere $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.27

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.27.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 2.1.2.27.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.27.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.27.4

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.28

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.1.2.29

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.30.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.30.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.3.1.2

Multipliziere $4 (3 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.2.30.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.3.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 2.1.2.30.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.4.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2.30.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot 3$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} + 3) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} + 3) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 3$ durch $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 2.2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 2.2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 2.2.3.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 2.2.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

Schritt 5.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 6