Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} - 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.3.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.3.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.3.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.3.5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x$ .

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Schritt 2.1.1.3.5.2.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.2.2

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$\frac{- 4 x + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.5.3

Addiere $- 4 x$ und $2 x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.3.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.7.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.5.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ an.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.9.4.1

Faktorisiere $2 (x + 1) (x - 1)$ aus $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ heraus.

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Schritt 2.1.2.9.4.1.1

Faktorisiere $2 (x + 1) (x - 1)$ aus $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.1.2

Faktorisiere $2 (x + 1) (x - 1)$ aus $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ heraus.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.1.3

Faktorisiere $2 (x + 1) (x - 1)$ aus $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ heraus.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.1.4

Faktorisiere $2 (x + 1) (x - 1)$ aus $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ heraus.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.1.5

Faktorisiere $2 (x + 1) (x - 1)$ aus $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ heraus.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.2.9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.9.4.3.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.9.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.9.4.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.9.4.3.4.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.9.4.3.7.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 2.1.2.9.4.4.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.4.2

Addiere $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.4.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.9.5.3.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ heraus.

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 2.1.2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.9.5.4.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ heraus.

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 2.1.2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 2.1.2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.9

Schreibe $- (3 x^{2} + 1)$ als $- 1 (3 x^{2} + 1)$ um.

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.12

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 1$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 1$

Schritt 2.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.5.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ um.

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Schritt 2.2.3.5.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.3.5.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 2.2.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 2.2.3.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.3.5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.5.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.2.3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.5.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.5.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.2.3.5.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.3.5.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2.3.5.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.3.5.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.5.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.5.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.3.5.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.5.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.3.5.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.2.3.5.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.3.5.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $48$ und $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{- 27 \cdot - 125}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 125$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{3375}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ heraus.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Produktregel auf $- 1 \cdot (0 - 1)$ an.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.6

Multipliziere ${(0 - 1)}^{3}$ mit ${(0 - 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.6.1

Bewege ${(0 - 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Schritt 6.2.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Schritt 6.2.2.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Schritt 6.2.4.2

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1}$

Schritt 6.2.5.2

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$f'' (0) = - 2$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, 1)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $48$ und $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$f'' (4) = \frac{98}{125 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $125$ mit $27$ .

$f'' (4) = \frac{98}{3375}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(1, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9