Analysis Beispiele

$p (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$ um.

$x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u^{2} - 6 u + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 1.2.6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 5) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 5, 1$

Schritt 1.2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 5$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 1.2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 5$

Schritt 1.2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 1.2.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 1.2.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 1.2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 1.2.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.2.12.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.2.13

Die Lösung von $x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$ ist $x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$ .

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 6 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 6 \cdot 0^{2} + 5$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 6 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 6 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4