Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x + 6}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 6}$ als ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 6$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.8.3

Bringe ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.11

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.14

Mutltipliziere ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.1.15

Um ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.16

Kombiniere ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.18

Multipliziere ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.18.1

Bewege ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.19

Vereinfache ${(x + 6)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 6)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.21

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 6}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.21.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.21.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.21.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.1.1.21.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x) + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.21.3.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.21.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 4$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 4$ und $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.5.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Mutltipliziere ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 6$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.11.3

Bringe ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.14

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$

Schritt 1.1.2.15.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 6)}$

Schritt 1.1.2.16

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

Schritt 1.1.2.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

Schritt 1.1.2.16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.16.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 1.1.2.16.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.2

Es sei $u_{2} = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.2.16.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.16.4.2.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.2.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.16.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.16.4.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.16.4.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.1.2

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 6 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 12 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12 - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.4.4.3

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.16.5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.16.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$

Schritt 1.1.2.16.5.3

Schreibe $\frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 12}$

Schritt 1.1.2.16.5.4

Mutltipliziere $\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x + 12}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 12)}$

Schritt 1.1.2.16.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.16.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.1.2.16.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 12)}$

Schritt 1.1.2.16.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 6)}$

Schritt 1.1.2.16.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 6$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 6))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 6))}$

Schritt 1.1.2.16.6.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.1.2.16.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (x + 6)}$

Schritt 1.1.2.16.6.2.2

Potenziere $x + 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 ((x + 6) {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.1.2.16.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.16.6.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.16.6.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.16.6.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (x + 8) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 8) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 8) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x + 8$ durch $1$ .

$x + 8 = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 1.2.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x \sqrt{x + 6}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 6}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 6 \geq 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 6$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 6}$

Intervallschreibweise:

$[- 6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 6}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$[- 6, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $[- 6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 8)}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $3 ((0) + 8)$ heraus.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 ({((0) + 6)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 2)}{{((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{{(0 + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Addiere $0$ und $6$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{6^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (0) = \frac{6}{6^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.6

Bringe $6^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{- 1}}$

Schritt 4.2.7

Multipliziere $6^{\frac{3}{2}}$ mit $6^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1}}$

Schritt 4.2.7.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $[- 6, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $[- 6, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5