Analysis Beispiele

$p (x) = \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 1.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 1.1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Schritt 1.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Schritt 1.1.2.11.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Schritt 1.1.2.11.3

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $p (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Graph ist konkav, da die zweite Ableitung negativ ist.

Der Graph ist konkav

Schritt 4