Analysis Beispiele

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.2.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.2.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.2.11

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.1.1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.6.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 1.1.2.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.13

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.2.14.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.14.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.14.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.15

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.17

Mutltipliziere $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.18

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 1.1.2.2.19

Addiere $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$x - 3 \sqrt[3]{x^{1}}$

Schritt 2.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Graph ist konvex, da die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 4