Analysis Beispiele

$y = x^{4} \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{4} \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.1.3.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.2.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Schritt 2.1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 2.1.2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 2.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.5

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.2.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.2.6.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $3 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

Schritt 2.1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $7 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ durch $12 x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ durch $12 x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{- 7}{12}$

Schritt 2.2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{7}{12}$

Schritt 2.2.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{7}{12}}$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{7}{12}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7}{12}} = x$

Schritt 2.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{7}{12}}$ um.

$x = e^{- \frac{7}{12}}$

Schritt 2.2.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.28$ .

$f'' (0.28) = 7 {(0.28)}^{2} + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.28$ mit $2$ .

$f'' (0.28) = 7 \cdot 0.0784 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $0.28$ mit $2$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 \cdot (0.0784 \ln (0.28))$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 0.9408 \ln (0.28)$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache $0.9408 \ln (0.28)$ , indem du $0.9408$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln ({0.28}^{0.9408})$

Schritt 5.2.1.6

Potenziere $0.28$ mit $0.9408$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln (0.3019161)$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.5488$ und $\ln (0.3019161)$ .

$f'' (0.28) = - 0.6488061$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6488061$ .

$- 0.6488061$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ konkav, weil $f'' (0.28)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = 7 {(3)}^{2} + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = 7 \cdot 9 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$f'' (3) = 63 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = 63 + 12 \cdot (9 \ln (3))$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$f'' (3) = 63 + 108 \ln (3)$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache $108 \ln (3)$ , indem du $108$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (3) = 63 + \ln (3^{108})$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $63 + \ln (3^{108})$ .

$63 + \ln (3^{108})$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ konvex, weil $f'' (3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8