Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
,
Schritt 1
Wenn stetig im Intervall ist und differenzierbar im Intervall , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl im Intervall derart, dass . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt und der Steigung der Geraden durch die Punkte und .
Wenn stetig im Intervall ist
und wenn im Intervall differenzierbar ist,
dann gibt es mindestens einen Punkt in : .
Schritt 2
Schritt 2.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 2.2
ist stetig im Intervall .
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 3
Schritt 3.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 3.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.1.5
Addiere und .
Schritt 3.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 4
Schritt 4.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 4.2
ist stetig im Intervall .
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 5
Die Funktion ist im Intervall differenzierbar, da die Ableitung im Intervall stetig ist.
Die Funktion ist differenzierbar.
Schritt 6
Die Funktion erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall und differenzierbar im Intervall .
ist stetig im Intervall und differenzierbar im Intervall .
Schritt 7
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 7.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 7.2.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 7.2.3
Addiere und .
Schritt 7.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 8
Schritt 8.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 8.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 8.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 8.2.2
Potenziere mit .
Schritt 8.2.3
Addiere und .
Schritt 8.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 9
Schritt 9.1
Vereinfache .
Schritt 9.1.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 9.1.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.1.2
Addiere und .
Schritt 9.1.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 9.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.2.2
Addiere und .
Schritt 9.1.3
Dividiere durch .
Schritt 9.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Schritt 9.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 9.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 9.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 9.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 9.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 9.4
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 9.5
Vereinfache .
Schritt 9.5.1
Schreibe als um.
Schritt 9.5.2
Vereinfache den Zähler.
Schritt 9.5.2.1
Schreibe als um.
Schritt 9.5.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 9.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 9.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 9.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 9.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 9.5.4.5
Addiere und .
Schritt 9.5.4.6
Schreibe als um.
Schritt 9.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 9.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 9.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 9.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 9.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 9.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 9.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 9.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 10
Es gibt eine Tangente bei parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte und verläuft.
Es gibt eine Tangente bei parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte und verläuft
Schritt 11
Es gibt eine Tangente bei parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte und verläuft.
Es gibt eine Tangente bei parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte und verläuft
Schritt 12