Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 8]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 8]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 3.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 3.1.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(1, 8)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $(1, 8)$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 4.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 4.1.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 4.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.1.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.1.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 4.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 4.1.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 4.1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.1.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 4.1.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 4.1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(1, 8)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(1, 8)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(1, 8)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[1, 8]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 8)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 8]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 8)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[1, 8]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[1, 8]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (8) = 2^{2}$

Schritt 8.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (8) = 4$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 9

Löse $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Schritt 9.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Schritt 9.2.2

Da $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $3, 7$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{1}{3}}$ .

Schritt 9.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 9.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 9.2.5

Da $7$ keine Teiler außer $1$ und $7$ hat.

$7$ ist eine Primzahl

Schritt 9.2.6

Das kgV von $3, 7$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3 \cdot 7$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21$

Schritt 9.2.8

Das kgV von $x^{\frac{1}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9.2.9

Das kgV von $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ ist der numerische Teil $21$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ mit $21 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ mit $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 9.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 9.3.3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $21 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 9.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 9.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Schreibe die Gleichung als $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ um.

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Schritt 9.4.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Schritt 9.4.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Schritt 9.4.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Schritt 9.4.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 9.4.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 9.4.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Schritt 9.4.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.4.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Schritt 9.4.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Schritt 9.4.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Schritt 9.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

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Schritt 9.4.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{14}{9}$ an.

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Schritt 9.4.4.2.1.2

Potenziere $14$ mit $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Schritt 9.4.4.2.1.3

Potenziere $9$ mit $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{2744}{729}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 8$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{2744}{729}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 8$ verläuft

Schritt 11