Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 - x}$ , $[- 6, 3]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \sqrt{3 - x}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[- 6, 3]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{3 - x}$ .

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Schritt 2.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - x \geq 0$

Schritt 2.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 3$

Schritt 2.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x \leq 3$

Schritt 2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 3}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 6, 3]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.7.3

Bringe ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 3.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.1.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 3.1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(- 6, 3)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $(- 6, 3)$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = - \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(3 - x)}^{1}}}$

Schritt 4.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}}$

Schritt 4.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - x \geq 0$

Schritt 4.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 3$

Schritt 4.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.3.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x \leq 3$

Schritt 4.1.4

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{3 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{3 - x} = 0$

Schritt 4.1.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.5.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (3 - x) = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 4.1.5.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$12 - 4 x = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 - 4 x = 0$

Schritt 4.1.5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.5.3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 12$

Schritt 4.1.5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 12$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 12$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 4.1.5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 4.1.5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 4.1.5.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 4.1.5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.5.3.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $- 4$ .

$x = 3$

Schritt 4.1.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 3}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(- 6, 3)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(- 6, 3)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(- 6, 3)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[- 6, 3]$ und differenzierbar im Intervall $(- 6, 3)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 6, 3]$ und differenzierbar im Intervall $(- 6, 3)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[- 6, 3]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{3 - (- 6)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{3 + 6}$

Schritt 7.2.2

Addiere $3$ und $6$ .

$f (- 6) = \sqrt{9}$

Schritt 7.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- 6) = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 6) = 3$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[- 6, 3]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \sqrt{3 - (3)}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = \sqrt{3 - 3}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = \sqrt{0}$

Schritt 8.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (3) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 8.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3) = 0$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 9

Löse $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (3) + f (- 6))}{- (3 - 6)}$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 3}{(3) - (- 6)}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3}{(3) - (- 6)}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3}{3 + 6}$

Schritt 9.1.4

Addiere $3$ und $6$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3}{9}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

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Schritt 9.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 (- 1)}{9}$

Schritt 9.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 9.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{3}$

Schritt 9.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}, 3$

Schritt 9.2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 9.2.3

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 9.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 9.2.5

Das kgV von $2, 3$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 3$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 9.2.7

Der Teiler von $3 - x$ ist $3 - x$ selbst.

$(3 - x) = 3 - x$

$(3 - x)$ occurs $1$ time.

Schritt 9.2.8

Das kgV von ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.2.9

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{3}$ mit $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{3}$ mit $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2.1.2

Faktorisiere $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ aus $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3)) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$- 3 = \frac{- 1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- 3 = \frac{- 1}{3} (3 (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 = \frac{- 1}{3} (3 (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 = - (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 = - 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$ um.

$- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

Schritt 9.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 9.4.2.2.2

Dividiere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 9.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$

Schritt 9.4.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 9.4.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.4.1.1

Vereinfache ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.4.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.4.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 9.4.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 9.4.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - x)}^{1} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 9.4.4.1.1.2

Vereinfache.

$3 - x = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 9.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 9.4.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$3 - x = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 9.4.4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 - x = \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 9.4.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 - x = \frac{9}{4}$

Schritt 9.4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.4.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.4.5.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = \frac{9}{4} - 3$

Schritt 9.4.5.1.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{9}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 9.4.5.1.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.4.5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x = \frac{9 - 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.4.5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.5.1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- x = \frac{9 - 12}{4}$

Schritt 9.4.5.1.5.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 9.4.5.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x = - \frac{3}{4}$

Schritt 9.4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{3}{4}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{3}{4}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 9.4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 9.4.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 9.4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Schritt 9.4.5.2.3.2

Dividiere $\frac{3}{4}$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{3}{4}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 6$ und $b = 3$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{3}{4}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 6$ und $b = 3$ verläuft

Schritt 11