Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = e^{- 2 x}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 3.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Schritt 3.1.2.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(0, 2)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(0, 2)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(0, 2)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(0, 2)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[0, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 2)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 2)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[0, 2]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Schritt 7.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[0, 2]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Schritt 8.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Schritt 9

Löse $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

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Schritt 9.1.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $e^{4}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ mit $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Schritt 9.1.1.2

Kombinieren.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Schritt 9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $e^{4} \cdot (1)$ als ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ um.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.4.4.1

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.4.3

Schreibe $e^{2} \cdot 1$ als ${(e \cdot 1)}^{2}$ um.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.4.5

Vereinfache.

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Schritt 9.1.4.4.5.1

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.4.4.5.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.5.1

Faktorisiere $e^{4}$ aus $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ heraus.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Schritt 9.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Schritt 9.1.5.3

Addiere $2$ und $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Schritt 9.1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $e^{- 2 x}$ durch $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 9.2.3.2

Kombinieren.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Schritt 9.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.3.3.1

Mutltipliziere $1 + e^{2}$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Schritt 9.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Schritt 9.2.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Schritt 9.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Schritt 9.4

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 9.5

Es gibt keine Lösung für $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Keine Lösung

Schritt 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Schritt 11