Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[- 2, 2]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

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Schritt 2.1.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 2.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 6$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Schritt 2.1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

Schritt 2.1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 2.1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 2.1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 3.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.1.6.3.2.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $(- 2, 2)$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Setze den Nenner in $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.2.1

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 6$

Schritt 4.1.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Schritt 4.1.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 4.1.2.2.3.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Schritt 4.1.2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(- 2, 2)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(- 2, 2)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(- 2, 2)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[- 2, 2]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4$ und $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Schritt 8

Löse $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Schritt 8.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Schritt 8.1.4

Dividiere $0$ durch $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Schritt 8.1.6

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Schritt 8.1.7

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Schritt 8.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Schritt 8.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Schritt 8.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ mit ${(x^{2} + 6)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ mit ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x = 0$

Schritt 9

Es gibt eine Tangente bei $x = 0$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 2$ und $b = 2$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = 0$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 2$ und $b = 2$ verläuft

Schritt 10