Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 9 x^{3} + 9$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{3} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{3}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$27 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $27 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 27 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $27 x^{2}$ .

$27 x^{2}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[- 3, 3]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

Schritt 6

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $27$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

Schritt 8.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

Schritt 8.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

Schritt 8.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

Schritt 8.2.2.4.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Schritt 8.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Schritt 8.2.2.6

Addiere $9$ und $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

Schritt 8.2.2.7

Mutltipliziere $27$ mit $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

Schritt 9

Addiere $3$ und $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $6$ aus $486$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 81$

Schritt 11