Analysis Beispiele

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 1]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Schritt 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $Keine Lösung$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $Keine Lösung$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $Keine Lösung$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[1, 1]$ und differenzierbar im Intervall $Keine Lösung$ .

Keine Lösung

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[1, 1]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (1) = 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 8

Die Gleichung hat einen nicht definierten Bruch.

Undefiniert

Schritt 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Schritt 10