Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 12 x$ , $(1, - 12)$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = x^{3} - 12 x$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $Keine Lösung$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 3.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 3.1.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Schritt 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $Keine Lösung$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $Keine Lösung$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $Keine Lösung$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $Keine Lösung$ und differenzierbar im Intervall $Keine Lösung$ .

Keine Lösung

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall Keine Lösung.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 12 \cdot 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 12$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$f (1) = - 11$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 11$ .

$- 11$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall Keine Lösung.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f (- 12) = {(- 12)}^{3} - 12 \cdot - 12$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $3$ .

$f (- 12) = - 1728 - 12 \cdot - 12$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$f (- 12) = - 1728 + 144$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 1728$ und $144$ .

$f (- 12) = - 1584$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1584$ .

$- 1584$

Schritt 9

Löse $3 x^{2} - 12 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $3 x^{2} - 12 = \frac{- (f (- 12) + f (1))}{- (- 12 + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache $\frac{(- 1584) - (- 11)}{(- 12) - (1)}$ .

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1584 + 11}{- 12 - (1)}$

Schritt 9.1.1.2

Addiere $- 1584$ und $11$ .

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 12 - (1)}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 12 - 1}$

Schritt 9.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 12$ .

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 13}$

Schritt 9.1.3

Dividiere $- 1573$ durch $- 13$ .

$3 x^{2} - 12 = 121$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 121 + 12$

Schritt 9.2.2

Addiere $121$ und $12$ .

$3 x^{2} = 133$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 133$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 133$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{133}{3}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{133}{3}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{133}{3}$

Schritt 9.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{133}{3}}$

Schritt 9.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{133}{3}}$ .

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Schritt 9.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{133}{3}}$ als $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 9.5.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 9.5.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 9.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 9.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{133 \cdot 3}}{3}$

Schritt 9.5.4.2

Mutltipliziere $133$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{399}}{3}$

Schritt 9.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}$

Schritt 9.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$

Schritt 9.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}, - \frac{\sqrt{399}}{3}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{\sqrt{399}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = - 12$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{\sqrt{399}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = - 12$ verläuft

Schritt 11

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = - 12$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = - 12$ verläuft

Schritt 12