Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 1}$ als ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{- 1})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} - 1)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus ${(x^{2} - 1)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus ${(x^{2} - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 6 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} = 2$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = 2$ durch $- 6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = 2$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{2} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Schritt 2.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 2.3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 2.3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte