Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 7) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 1.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{14 x + 0}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2.2

Addiere $14 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}})$

Schritt 1.2.2

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 7)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ heraus.

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Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus ${(x^{2} + 7)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ heraus.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ heraus.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Schritt 1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus ${(x^{2} + 7)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $14$ und $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17

Vereinfache.

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Schritt 1.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $14$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $7$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.3

Faktorisiere $14$ aus $- 42 x^{2} + 98$ heraus.

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Schritt 1.2.17.3.1

Faktorisiere $14$ aus $- 42 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.3.2

Faktorisiere $14$ aus $98$ heraus.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.3.3

Faktorisiere $14$ aus $14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.5

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 7)$ als $- 1 (3 x^{2} - 7)$ um.

$f'' (x) = \frac{14 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$14 (3 x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ durch $14$ .

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 7$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{14}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $14$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 7$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{3}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Schritt 2.3.5.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 (7)}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.2

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

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Schritt 3.1.2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

Schritt 3.1.2.2.5

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.6

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.2.8.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.8.2

Addiere $7$ und $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

Schritt 3.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.1.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (7)}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{7}{3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Schritt 3.3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

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Schritt 3.3.2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

Schritt 3.3.2.2.7

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.8

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.2.10.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.10.2

Addiere $7$ und $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

Schritt 3.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

Schritt 3.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.62752523$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $2.64883837$ und $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $9.64883837$ mit $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $14$ mit $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $13.25121194$ durch $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.0147513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 0.0147513$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

Schritt 5.3

Bei $- 1.62752523$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0147513$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{7^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{343}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $14$ mit $- 7$ .

$f'' (0) = - \frac{- 98}{343}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 98$ und $343$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $49$ aus $- 98$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{49 (- 2)}{343}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{- 2}{7}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = \frac{2}{7}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7}$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $0.\overline{285714}$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.62752523$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $2.64883837$ und $7$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $9.64883837$ mit $3$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $14$ mit $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $13.25121194$ durch $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.0147513$ .

$f'' (1.62752523) = - 0.0147513$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

Schritt 7.3

Bei $1.62752523$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0147513$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 9