Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x^{2} - 6 x - 18$ .

$f' (x) = (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 18) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f' (x) = (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.6

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Schritt 1.1.2.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \cdot 1$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $x^{2} - 6 x - 18$ mit $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.6

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 \cdot x - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.8

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.9

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 18 - 6 x - 18$

Schritt 1.1.3.4.10

Subtrahiere $6 x$ von $- 12 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 18 - 18$

Schritt 1.1.3.4.11

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 0$

Schritt 1.1.3.4.12

Addiere $3 x^{2} - 18 x$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 18 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 18$ .

$6 x - 18$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 18 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 18 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 18$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 18$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 18$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $18$ durch $6$ .

$x = 3$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $3$ in $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = ((3) - 3) ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = 0 ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 0 (9 - 6 \cdot 3 - 18)$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (3) = 0 (9 - 18 - 18)$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.3.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$f (3) = 0 (- 9 - 18)$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $18$ von $- 9$ .

$f (3) = 0 \cdot - 27$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 27$ .

$f (3) = 0$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3$ in $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ ermittelt werden kann, ist $(3, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.9$ .

$f'' (2.9) = 6 (2.9) - 18$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2.9$ .

$f'' (2.9) = 17.4 - 18$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $18$ von $17.4$ .

$f'' (2.9) = - 0.6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 5.3

Bei $2.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 3)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.1$ .

$f'' (3.1) = 6 (3.1) - 18$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $3.1$ .

$f'' (3.1) = 18.6 - 18$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $18$ von $18.6$ .

$f'' (3.1) = 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Schritt 6.3

Bei $3.1$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(3, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(3, 0)$ .

$(3, 0)$

Schritt 8