Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.5.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.2.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.2.1.8.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.2.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.2.2

Addiere $- 4 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.1.5.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x) + 2 x (1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.5.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.5

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 x (- 1 (x - 1))$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.5.4.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ heraus.

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Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.10.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.10.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11

Vereinfache.

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Schritt 1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.11.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.2.11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.7

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Schritt 1.2.11.10

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (2 x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $2 x + 1$ durch $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.4.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.6

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 3.1.2.2.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Schritt 3.1.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Schritt 3.1.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 1.2$ und $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $- 1.6$ mit $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $- 0.4$ durch $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Schritt 5.3

Bei $- 0.6$ , die zweite Ableitung ist $- 0.06103515$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 0.8$ und $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $- 1.4$ mit $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $0.4$ durch $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.10412328$ .

$0.10412328$

Schritt 6.3

Bei $- 0.4$ ist die zweite Ableitung $0.10412328$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Schritt 8