Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ und $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Schritt 1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Schritt 1.1.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Schritt 1.1.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Schritt 1.1.5.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 10 x + 25$ mit $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Schritt 1.1.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.5.7

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.5.9

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.5.10

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

Schritt 1.1.5.11

Addiere $2 x - 10$ und $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4.6

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

Schritt 1.1.6.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

Schritt 1.1.6.4.8

Subtrahiere $10 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

Schritt 1.1.6.4.9

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

Schritt 1.1.6.4.10

Subtrahiere $14 x$ von $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

Schritt 1.1.6.4.11

Addiere $25$ und $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 24 x + 45$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 24 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $6 x - 24$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 24$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 24$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 24$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $24$ durch $6$ .

$x = 4$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $4$ in $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $(4) - 2$ mit $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

Schritt 3.1.2.4

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (4) = 2$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $4$ in $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ ermittelt werden kann, ist $(4, 2)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(4, 2)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.9$ .

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $24$ von $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 5.3

Bei $3.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 4)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 4)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.1$ .

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $24$ von $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Schritt 6.3

Bei $4.1$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(4, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Schritt 8