Analysis Beispiele

$8 y + \sin (y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (8 y + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 y + \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 y' + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 y' + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$8 y' + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 y' + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 y' + \cos (y) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\cos (y) y' + 8 y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (y) y' + 8 y' = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $\cos (y) y' + 8 y'$ um.

$y' \cos (y) + 8 y' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (y) + 8 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (y)$ heraus.

$y' (\cos (y)) + 8 y' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $8 y'$ heraus.

$y' (\cos (y)) + y' \cdot 8 = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cos (y)) + y' \cdot 8$ heraus.

$y' (\cos (y) + 8) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (y) + 8) = 1$ durch $\cos (y) + 8$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (y) + 8) = 1$ durch $\cos (y) + 8$ .

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y) + 8$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$