Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{2} - 4}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 4})$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 4}$ als ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f' (x) = - 16 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{16}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.5.4

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} - 4)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus ${(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ heraus.

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Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus ${(x^{2} - 4)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $- 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ heraus.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ heraus.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus ${(x^{2} - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $- 16$ und $\frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.18

Vereinfache.

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Schritt 1.2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $16$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 48 x^{2} - 64 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 48 x^{2} = 64$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 48 x^{2} = 64$ durch $- 48$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 48 x^{2} = 64$ durch $- 48$ .

$\frac{- 48 x^{2}}{- 48} = \frac{64}{- 48}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 48$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 48 x^{2}}{- 48} = \frac{64}{- 48}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{- 48}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $- 48$ .

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Schritt 2.3.2.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$x^{2} = \frac{16 (4)}{- 48}$

Schritt 2.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 48$ heraus.

$x^{2} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Schritt 2.3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{4}{3}$ als $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ um.

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Schritt 2.3.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 2.3.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.3.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 2.3.4.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte