Analysis Beispiele

$x e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 2.2.4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Schritt 2.2.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$e^{x} (x + 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $- 2$ in $f (x) = x e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = x e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.2

Kombiniere $- 2.1$ und $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.4

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $2.71828182$ mit $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.6

Dividiere $2.1$ durch $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Schritt 6.2.1.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

Schritt 6.2.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 0.25715849$ und $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

Schritt 6.3

Bei $- 2.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.01224564$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 2)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $- 1.9$ und $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.4

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $2.71828182$ mit $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.6

Dividiere $1.9$ durch $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Schritt 7.2.1.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

Schritt 7.2.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 0.28418037$ und $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.01495686$ .

$0.01495686$

Schritt 7.3

Bei $- 1.9$ ist die zweite Ableitung $0.01495686$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Schritt 9