Analysis Beispiele

$x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 4 x + 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 4 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 4$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 4$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 4.1.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 4.1.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 1$

Schritt 4.1.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.1.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Schritt 4.1.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{9}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{9}$

Schritt 4.1.2.4.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 9}{9}$

Schritt 4.1.2.4.3

Addiere $- 5$ und $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$

Schritt 4.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Schritt 4.3

Ersetze $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 4.3.2.1.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $81$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.6.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1$

Schritt 4.3.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1$

Schritt 4.3.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 4.3.2.1.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 1$

Schritt 4.3.2.1.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.13

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1$

Schritt 4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 4.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Schritt 4.3.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{9}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{9}$

Schritt 4.3.2.4.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 9}{9}$

Schritt 4.3.2.4.3

Addiere $- 5$ und $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.67735026$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.67735026$ mit $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $4$ von $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.50564064$ .

$1.50564064$

Schritt 6.3

Bei $- 0.67735026$ ist die zweite Ableitung $1.50564064$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 7.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 4$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.67735026$ .

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.67735026$ mit $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $4$ von $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.50564064$ .

$1.50564064$

Schritt 8.3

Bei $0.67735026$ ist die zweite Ableitung $1.50564064$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Schritt 10