Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Schritt 1.1.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.2.1.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Schritt 1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.7.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.2.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Schritt 1.2.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte