Analysis Beispiele

h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

{(x + 2)}^{7} - 7 x - 1

${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = x^{7}$ und

$g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

$n u^{n - 1}$ ist mit

$n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle

$u$ durch

$x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x + 2$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.5

Addiere

$1$ und

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere

$7$ mit

$1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

$- 7$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 7 x$ nach

$x$ gleich

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ und

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von

$h (x)$ nach

$x$ ist

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.4

Potenziere

$2$ mit

$3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.5

Mutltipliziere

$8$ mit

$20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.6

Potenziere

$2$ mit

$4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.7

Mutltipliziere

$16$ mit

$15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.8

Potenziere

$2$ mit

$5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.9

Mutltipliziere

$32$ mit

$6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.10

Potenziere

$2$ mit

$6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere

$12$ mit

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere

$60$ mit

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere

$160$ mit

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere

$240$ mit

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.5

Mutltipliziere

$192$ mit

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.6

Mutltipliziere

$7$ mit

$64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

$7$ von

$448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Schritt 2.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 3, - 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich

$0$ machen, sind

$- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Schritt 4

Teile

$(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die

$x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich

$0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 4$ .

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere

$- 4$ und

$2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere

$- 2$ mit

$6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere

$7$ mit

$64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere

$7$ von

$448$ .

$h' (- 4) = 441$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist

$441$ .

$441$

Schritt 5.3

Bei

$x = - 4$ ist die Ableitung

$441$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall

$(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall

$(- \infty, - 3)$ , da

$h' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(- \infty, - 3)$ , da

$h' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- 3, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 2$ .

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere

$- 2$ und

$2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Schritt 6.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere

$7$ mit

$0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere

$7$ von

$0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 7$ .

$- 7$

Schritt 6.3

Bei

$x = - 2$ ist die Ableitung

$- 7$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall

$(- 3, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall

$(- 3, - 1)$ da

$h' (x) < 0$

Abfallend im Intervall

$(- 3, - 1)$ da

$h' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$0$ .

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere

$0$ und

$2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere

$2$ mit

$6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere

$7$ mit

$64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere

$7$ von

$448$ .

$h' (0) = 441$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist

$441$ .

$441$

Schritt 7.3

Bei

$x = 0$ ist die Ableitung

$441$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall

$(- 1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall

$(- 1, \infty)$ , da

$h' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(- 1, \infty)$ , da

$h' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall:

$(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Abfallend im Intervall:

$(- 3, - 1)$

Schritt 9