Analysis Beispiele

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ und $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.6

Potenziere $2$ mit $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.8

Potenziere $2$ mit $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.9

Mutltipliziere $32$ mit $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.2.10

Potenziere $2$ mit $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $60$ mit $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere $160$ mit $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere $240$ mit $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.5

Mutltipliziere $192$ mit $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Schritt 2.2.1.4.6

Mutltipliziere $7$ mit $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $7$ von $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Schritt 2.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 3, - 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $- 4$ und $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $7$ von $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $441$ .

$441$

Schritt 5.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $441$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $h' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Schritt 6.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7$ .

$- 7$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 7$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 3, - 1)$ da $h' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $7$ von $448$ .

$h' (0) = 441$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $441$ .

$441$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $441$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $h' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 3, - 1)$

Schritt 9