Analysis Beispiele

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 + x$ und $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $3 - x$ mit $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10.2

Mutltipliziere $2 + x$ mit $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.12

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1.2.12.1

Mutltipliziere $2 + x$ mit $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.12.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.12.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.12.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.12.4.1

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.12.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 = 0$

Schritt 3.3

Da $5 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x + 3$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- (x - 3)$ an.

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ durch ${(- 1)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ durch ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (2) = 5$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $5$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $- 4$ und $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (4) = 5$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 8.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $5$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Schritt 10