Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 2.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 3.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{1}{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Schritt 10