Analysis Beispiele

$y = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe $y = {(x - 4)}^{3}$ als Funktion.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $4$ .

$4$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = 3$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $3$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

Schritt 7.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (5) = 3$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 7.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $3$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Schritt 9