Analysis Beispiele

y = 2 - 2 x - x^{3}

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

Schritt 1

Schreibe

y = 2 - 2 x - x^{3}

$y = 2 - 2 x - x^{3}$ als Funktion.

f (x) = 2 - 2 x - x^{3}

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

2 - 2 x - x^{3}

$2 - 2 x - x^{3}$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.1.2

2

$2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

2

$2$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Berechne

\frac{d}{d x} [- 2 x]

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

- 2

$- 2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- 2 x

$- 2 x$ nach

x

$x$ gleich

- 2 \frac{d}{d x} [x]

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

1

$1$ .

0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne

\frac{d}{d x} [- x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- x^{3}

$- x^{3}$ nach

x

$x$ gleich

- \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 3

$n = 3$ .

0 - 2 - (3 x^{2})

$0 - 2 - (3 x^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

0 - 2 - 3 x^{2}

$0 - 2 - 3 x^{2}$

0 - 2 - 3 x^{2}

$0 - 2 - 3 x^{2}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Subtrahiere

2

$2$ von

0

$0$ .

- 2 - 3 x^{2}

$- 2 - 3 x^{2}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von

$f (x)$ nach

$x$ ist

$- 3 x^{2} - 2$ .

$- 3 x^{2} - 2$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$- 3 x^{2} - 2 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ .

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.2

Addiere

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = 2$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in

$- 3 x^{2} = 2$ durch

$- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 3 x^{2} = 2$ durch

$- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere

$x^{2}$ durch

$1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.5

Vereinfache

$\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe

$- 1$ als

$i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.5.3

Schreibe

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ als

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.5.5.3

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.5.5.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.5.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.5.5.6

Schreibe

${\sqrt{3}}^{2}$ als

$3$ um.

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Schritt 3.5.5.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{3}$ als

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.5.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 3.5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.5.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 3.5.7

Kombiniere

$i$ und

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Schritt 4

Es gibt keine Werte von

$x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung

$0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

An keinem Punkt ist die Ableitung

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ gleich

$0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ ansteigt oder abfällt, ist

$(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie

$1$ , aus dem Intervall

$(- \infty, \infty)$ in die Ableitung

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall

$(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall

$(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$f' (1) = - 3 - 2$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere

$2$ von

$- 3$ .

$f' (1) = - 5$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 5$ .

$- 5$

Schritt 7

Das Ergebnis des Einsetzens von

$1$ in

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ ist

$- 5$ , was negativ ist, folglich ist der Graph im Intervall

$(- \infty, \infty)$ abfallend.

Abfallend im Intervall

$(- \infty, \infty)$

Schritt 8

Abfallend im Intervall

$(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer abfallend ist.

Immer abnehmend

Schritt 9