Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 3.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Schritt 3.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$4 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$4 \cdot 1 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$4 - 9 + 6 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.6

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$- 5 + 6 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.7

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Schritt 3.2.1.3.8

Addiere $- 5$ und $6$ .

$1 - 1$

Schritt 3.2.1.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 3.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1}{x - 1}$

Schritt 3.2.1.5

Dividiere $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$1$

Schritt 3.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Schritt 3.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 3.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 3.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 3.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} + 5 x$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 3.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$

Schritt 3.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 3.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 3.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 3.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 3.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Schritt 3.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 5 x + 1$

Schritt 3.2.1.6

Schreibe $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$(x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 4) x + 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 4 x + 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 4 x + 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x (4 x - 1) - (4 x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(x - 1) ((4 x - 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.5

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, \frac{1}{4}$ .

$1, \frac{1}{4}$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{4})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = 4 {(- 0.75)}^{3} - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.75$ mit $3$ .

$f' (- 0.75) = 4 \cdot - 0.421875 - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.75$ mit $2$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 9 \cdot 0.5625 + 6 (- 0.75) - 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 5.0625 + 6 (- 0.75) - 1$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 5.0625 - 4.5 - 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $5.0625$ von $- 1.6875$ .

$f' (- 0.75) = - 6.75 - 4.5 - 1$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $4.5$ von $- 6.75$ .

$f' (- 0.75) = - 11.25 - 1$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 11.25$ .

$f' (- 0.75) = - 12.25$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12.25$ .

$- 12.25$

Schritt 6.3

Bei $x = - 0.75$ ist die Ableitung $- 12.25$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{1}{4})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{1}{4})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.25, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.625$ .

$f' (0.625) = 4 {(0.625)}^{3} - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.625$ mit $3$ .

$f' (0.625) = 4 \cdot 0.24414062 - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.24414062$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.625$ mit $2$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 9 \cdot 0.390625 + 6 (0.625) - 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $0.390625$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 3.515625 + 6 (0.625) - 1$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $0.625$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 3.515625 + 3.75 - 1$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $3.515625$ von $0.9765625$ .

$f' (0.625) = - 2.5390625 + 3.75 - 1$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 2.5390625$ und $3.75$ .

$f' (0.625) = 1.2109375 - 1$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $1.2109375$ .

$f' (0.625) = 0.2109375$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.2109375$ .

$0.2109375$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.625$ ist die Ableitung $0.2109375$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0.25, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{4}, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f' (2) = 32 - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 9 \cdot 4 + 6 (2) - 1$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$f' (2) = 32 - 36 + 6 (2) - 1$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 + 12 - 1$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $36$ von $32$ .

$f' (2) = - 4 + 12 - 1$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 4$ und $12$ .

$f' (2) = 8 - 1$

Schritt 8.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$f' (2) = 7$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 8.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $7$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{1}{4}, 1), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{1}{4})$

Schritt 10