Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 6 x + 6$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 6 x + 6$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ heraus.

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 2 x + 2$ durch $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i, 1 - i$

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$f' (1) = 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 7

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ ist $3$ , was positiv ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ansteigend.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Schritt 8

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer ansteigt.

Immer ansteigend

Schritt 9