Analysis Beispiele

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Schritt 1

Schreibe $y = x - 4 \ln (3 x - 9)$ als Funktion.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 2.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 2.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 2.1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 2.1.2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 2.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Schritt 2.1.2.8

Addiere $3$ und $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Schritt 2.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 9}$ und $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Schritt 2.1.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 x - 9$ .

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Schritt 2.1.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Schritt 2.1.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Schritt 2.1.2.10.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Schritt 2.1.2.10.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 3)$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 2.1.2.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 2.1.2.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Schritt 2.1.2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Schritt 2.1.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Schritt 2.1.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Schritt 2.1.3.3

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 7 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $7$ .

$7$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 7}{x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 7

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(3, 7)$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, 7)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = \frac{(5) - 7}{(5) - 3}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{5 - 3}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{2}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$f' (5) = - 1$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 8.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(3, 7)$ ab.

Abfallend im Intervall $(3, 7)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(3, 7), (7, \infty)$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(7, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f' (8) = \frac{(8) - 7}{(8) - 3}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{8 - 3}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{5}$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Schritt 10.3

Bei $x = 8$ ist die Ableitung $\frac{1}{5}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(7, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(7, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(7, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(3, 7)$

Schritt 12