Analysis Beispiele

$e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $e^{- x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 2.1.3.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.8.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 2.2.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 2.2.11.3

Stelle die Terme um.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 2.2.11.4

Stelle die Faktoren in $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ um.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 e^{- x^{2}}$ aus $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2 e^{- x^{2}}$ aus $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ heraus.

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2 e^{- x^{2}}$ aus $- 2 e^{- x^{2}}$ heraus.

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2 e^{- x^{2}}$ aus $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ heraus.

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{- x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{- x^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{- x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.3

Ersetze $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Schritt 4.3.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 4.3.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Schritt 4.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 4.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.2.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $2.60568542$ und $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.7

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.8

Potenziere $2.71828182$ mit $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.9

Dividiere $2.60568542$ durch $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.10

Potenziere $- 0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Schritt 6.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Schritt 6.2.1.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Schritt 6.2.1.13

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Schritt 6.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ von $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.31574641$ .

$0.31574641$

Schritt 6.3

Bei $- 0.80710678$ ist die zweite Ableitung $0.31574641$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

Schritt 7.2.1.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 7.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Kombiniere $2.60568542$ und $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Potenziere $2.71828182$ mit $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Dividiere $2.60568542$ durch $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Potenziere $0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Schritt 8.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Schritt 8.2.1.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Schritt 8.2.1.13

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Schritt 8.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ von $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.31574641$ .

$0.31574641$

Schritt 8.3

Bei $0.80710678$ ist die zweite Ableitung $0.31574641$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 10