Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2} + 6 x - 6$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ heraus.

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ heraus.

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{1}{2}$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Schritt 3.1.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 9$

Schritt 3.1.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 9$

Schritt 3.1.2.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 9$

Schritt 3.1.2.1.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 9$

Schritt 3.1.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 9$

Schritt 3.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{4} + 9$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3}{4} + 9$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}) + 9$

Schritt 3.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 9$

Schritt 3.1.2.2.5

Schreibe $9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{1}$

Schritt 3.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.8

Stelle die Faktoren von $8 \cdot 2$ um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{2 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 3 \cdot 4 + 9 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 12 + 9 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 12 + 144}{16}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.5.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 12 + 144}{16}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 9 + 144}{16}$

Schritt 3.1.2.5.3

Addiere $- 9$ und $144$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{135}{16}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{135}{16}$ .

$\frac{135}{16}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$

Schritt 3.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 1 + {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 \cdot 1 + 9$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 + 9$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 1) = 0 - 3 + 9$

Schritt 3.3.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f (- 1) = - 3 + 9$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $- 3$ und $9$ .

$f (- 1) = 6$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, 6)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, 6)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{1}{2}, \frac{135}{16}), (- 1, 6)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) - 6$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) - 6$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 6 (- 1.1) - 6$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 6.6 - 6$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $6.6$ von $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 7.92 - 6$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $7.92$ .

$f'' (- 1.1) = 1.92$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.92$ .

$1.92$

Schritt 5.3

Bei $- 1.1$ ist die zweite Ableitung $1.92$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$f'' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 6$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.0625$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 6$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 6$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $1.5$ von $0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 0.75 - 6$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 6.75$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6.75$ .

$- 6.75$

Schritt 6.3

Bei $- 0.25$ , die zweite Ableitung ist $- 6.75$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 1, \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall $(- 1, \frac{1}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.6$ .

$f'' (0.6) = 12 {(0.6)}^{2} + 6 (0.6) - 6$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$f'' (0.6) = 12 \cdot 0.36 + 6 (0.6) - 6$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.36$ .

$f'' (0.6) = 4.32 + 6 (0.6) - 6$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0.6$ .

$f'' (0.6) = 4.32 + 3.6 - 6$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $4.32$ und $3.6$ .

$f'' (0.6) = 7.92 - 6$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $7.92$ .

$f'' (0.6) = 1.92$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.92$ .

$1.92$

Schritt 7.3

Bei $0.6$ ist die zweite Ableitung $1.92$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 6), (\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$ .

$(- 1, 6), (\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$

Schritt 9